2 Решения

Решения задач в электричку

Условия · Подсказки

Note

Под «опубликованным решением» ниже имеется в виду разбор из комплекта ответов МФТИ. Я пересказываю его своими словами. Там, где этот ход делает лишнюю работу, рядом дан более прямой вариант.

1. Три шарика и коробки

Ответ: в $2$ раза.

Опубликованный ход

Пусть всего имеется $N$ коробок. Если игрок открывает пять коробок, то

$$P_5=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-3}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{5}\right)}.$$

В числителе выбираются ещё две пустые коробки к трём коробкам с шариками. Аналогично,

$$P_6=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-3}{3}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{6}\right)}.$$

После сокращения получается

$$\frac{P_6}{P_5}=2.$$

Более прямое решение

Зафиксируем набор из $k$ коробок, который откроет игрок. Три коробки с шариками равновероятно образуют одну из $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{3}\right)$ троек, а выигрышных троек ровно $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{3}\right)$. Поэтому

$$P_k=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{3}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{3}\right)}.$$

Нас интересует только отношение:

$$\frac{P_6}{P_5}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)}=\frac{20}{10}=2.$$

Так короче: неизвестное число коробок вообще не приходится раскрывать в формулах.

2. Неизменившееся выражение

Ответ: $M=1$.

Опубликованный ход

Из равенства старого и нового значений $K$ после приведения к общему знаменателю получается

$$(x+y+2)(y-x+1)=0.$$

Поскольку $x,y>0$, первый множитель положителен. Значит,

$$x=y+1.$$

Тогда

$$M=(y+1{)}^3-y^3-3y(y+1)=1.$$

Более прямое решение

Здесь общий знаменатель в опубликованном решении не нужен. Сразу соберём выражение $K$:

$$K(x,y)=\frac{x+y+2}{xy}.$$

После указанной замены числитель остаётся тем же:

$$K(x-1,y+1)=\frac{x+y+2}{(x-1)(y+1)}.$$

Числитель положителен, поэтому равенство значений эквивалентно равенству знаменателей:

$$xy=(x-1)(y+1)=xy+x-y-1.$$

Отсюда $x=y+1$. Для любого $y>0$ такая пара допустима, а выражение $M$ всегда равно

$$(y+1{)}^3-y^3-3y(y+1)=1.$$

3. Квадрат из трёх чисел

Ответ:

$$(A,B,C)=(6666,202,33).$$

Опубликованный ход здесь уже практически минимален; ниже он только расписан чуть строже.

Пусть повторяющаяся цифра числа $A$ равна $d$, где $1\le d\le 9$. Тогда

$$A=1111d=11\cdot 101\cdot d.$$

Простое число $101$ входит в $A$ в нечётной степени. Оно не может прийти из $C$ или из цифры $d$, поэтому для квадратности произведения число $B$ обязано делиться на $101$. Среди трёхзначных кратных $101$ только число

$$B=202$$

содержит цифру $2$.

Теперь следим за множителем $11$. В $A$ он встречается один раз, а $202$ на $11$ не делится. Поэтому $C$ должно делиться на $11$. Единственное двузначное кратное $11$, содержащее цифру $3$, — это

$$C=33.$$

После этого

$$ABC=d\cdot 11\cdot 101\cdot 202\cdot 33=6d\cdot 11^2\cdot 101^2.$$

Множители $11^2$ и $101^2$ уже являются квадратами, поэтому требуется, чтобы $6d$ было квадратом. При $d\in \{1,2,\dots ,9\}$ это возможно только для $d=6$, поскольку $6d=36$.

Получаем $A=6666$. Обратная проверка проходит:

$$6666\cdot 202\cdot 33=(6\cdot 11\cdot 101{)}^2.$$

4. Тригонометрия и подсчёт целых пар

Ответ:

а)

$$y=x+1+2k,k\in \mathbb{Z},$$

или

$$y=1-3x+2m,m\in \mathbb{Z}.$$

Здесь $x$ — произвольное действительное число.

б) $49$ пар.

Пункт а

Обозначим $a=\pi x$, $b=\pi y$. После раскрытия скобок исходное уравнение принимает вид

$${\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a+\sin a\sin b-\cos a\cos b=0.$$

Используем

$${\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a=-\cos 2a,\sin a\sin b-\cos a\cos b=-\cos (a+b).$$

Поэтому

$$\cos 2a+\cos (a+b)=0.$$

Формула суммы косинусов даёт

$$2\cos \frac{3a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}=0.$$

Следовательно, хотя бы один множитель равен нулю:

$$\frac{3a+b}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi m$$

или

$$\frac{a-b}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k.$$

Возвращаясь к $x,y$ и при необходимости переобозначая целый параметр, получаем два заявленных семейства прямых.

Пункт б: опубликованный подсчёт

В опубликованном решении сначала замечают, что для целых $x,y$ второе семейство не добавляет новых точек к первому, а затем считают точки подходящих прямых по каждому фиксированному $x$ внутри прямоугольника

$$-5\le x\le 5,-4\le y\le 4.$$

После удаления точки $(5,-4)$ получается $49$.

Более простой подсчёт по чётности

Для целых $x,y$ первое семейство равносильно тому, что $y-x$ нечётно. Это то же самое, что нечётность $x+y$. Второе семейство приводит к тому же условию. И наоборот, если $x+y$ нечётно, то

$$k=\frac{y-x-1}{2}$$

целое, поэтому пара попадает в первое семейство. Значит, тригонометрическому уравнению удовлетворяют ровно пары разных чётностей.

Области определения обратных тригонометрических функций дают

$$x\in \{-5,-4,\dots ,5\},y\in \{-4,-3,\dots ,4\}.$$

Кроме того,

$$\arcsin \frac{x}{5}\le \frac{\pi }{2},\arccos \frac{y}{4}\le \pi .$$

Сумма достигает $3\pi /2$ только при $x=5$ и $y=-4$. Поэтому строгое неравенство исключает ровно точку $(5,-4)$.

Среди значений $x$ имеется $6$ нечётных и $5$ чётных, а среди значений $y$ — $5$ чётных и $4$ нечётных. Пар разных чётностей

$$6\cdot 5+5\cdot 4=50.$$

Точка $(5,-4)$ входит в этот подсчёт, поэтому окончательно

$$50-1=49.$$

5. Степень двойки и разность квадратов

Ответ:

$$(x,y)=(8,83),(8,-83).$$

Опубликованное решение использует ту же факторизацию; ниже перебор множителей сделан максимально явно.

Если $x<0$, то $19\cdot 2^x$ не является целым числом, тогда как $y^2-2025$ — целое. Значит, $x\ge 0$.

При $x=0$ получаем $y^2=2044$, но

$$45^2<2044<46^2,$$

поэтому решений нет. Далее считаем $x>0$.

Уравнение зависит только от $y^2$, поэтому сначала положим $Y=|y|$. Очевидно, $Y>45$. Разложим разность квадратов:

$$(Y-45)(Y+45)=19\cdot 2^x.$$

Оба множителя слева чётны, а их разность равна $90$, то есть не делится на $4$. Следовательно, ровно один из множителей делится на $2$, но не делится на $4$.

В правой части единственный нечётный простой множитель — $19$. Кроме того, $19$ не может делить оба множителя, поскольку тогда он делил бы их разность $90$. Значит, множитель, содержащий ровно одну двойку, может быть только

$$2\text{или}2\cdot 19=38.$$

Но $Y+45>90$, поэтому этим множителем является $Y-45$.

• Если $Y-45=2$, то $Y=47$, а $Y+45=92=4\cdot 23$. Появляется простой множитель $23$, которого справа нет: случай невозможен.
• Если $Y-45=38$, то $Y=83$, а $Y+45=128=2^7$. Тогда $$(Y-45)(Y+45)=38\cdot 128=19\cdot 2^8,$$ поэтому $x=8$.

Возвращая оба знака $y$, получаем $(8,\pm 83)$.

---

Источник условий и опубликованных решений: архив примеров заданий олимпиады «Физтех», заключительный этап 2024/25.