0 Задачи

Задачи в электричку — 10 октября 2026

Подсказки · Решения

Info

Все пять задач решаются без чертежа и нормально помещаются в маленький блокнот. Я намеренно смешал задачи 9–11 классов заключительного этапа: здесь важнее плотность идеи, чем формальная маркировка класса. Формулировки слегка перефразированы, численные данные не менялись.

Рекомендуемый порядок — сверху вниз. До первой подсказки дай задаче хотя бы 15–20 минут; если застрял, открывай подсказки строго по одной.

1. Три шарика и коробки

«Физтех»-2025, 10 класс, задача 4.

Есть некоторое число коробок. В трёх случайно выбранных коробках лежит по одному шарику. Игрок указывает несколько коробок и выигрывает, если среди них находятся все три шарика.

Сначала игроку разрешали указать пять коробок, а затем — шесть. Во сколько раз выросла вероятность выигрыша?

2. Неизменившееся выражение

«Физтех»-2025, 11 класс, задача 2.

Для положительных чисел $x$ и $y$ задано

$$K=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}.$$

После замены $(x,y)$ на $(x-1,y+1)$ значение $K$ не изменилось. Найдите все возможные значения

$$M=x^3-y^3-3xy.$$

3. Квадрат из трёх чисел

«Физтех»-2025, 11 класс, задача 1.

Найдите все тройки натуральных чисел $(A,B,C)$, для которых одновременно выполнено следующее:

• $A$ — четырёхзначное число из четырёх одинаковых цифр;
• $B$ — трёхзначное число, в десятичной записи которого есть цифра $2$;
• $C$ — двузначное число, в десятичной записи которого есть цифра $3$;
• произведение $ABC$ является полным квадратом.

4. Тригонометрия и подсчёт целых пар

«Физтех»-2025, 11 класс, задача 3.

а) Найдите все пары действительных чисел $(x,y)$, удовлетворяющие уравнению

$$(\sin \pi x+\sin \pi y)\sin \pi x=(\cos \pi x+\cos \pi y)\cos \pi x.$$

б) Сколько целочисленных пар $(x,y)$ одновременно удовлетворяют этому уравнению и неравенству

$$\arcsin \frac{x}{5}+\arccos \frac{y}{4}<\frac{3\pi }{2}?$$

5. Степень двойки и разность квадратов

«Физтех»-2025, 9 класс, задача 5.

Найдите все пары целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющие уравнению

$$19\cdot 2^x+2025=y^2.$$

---

Источник: архив примеров заданий олимпиады «Физтех», заключительный этап 2024/25, первые варианты для 9–11 классов.