Однородные уравнения

Тригонометрические

— уравнение вида $a_n\cdot {\sin }^{n}x+a_{n-1}\cdot {\sin }^{n-1}x\cdot \cos x+\cdots +a_0{\cos }^{n}x=0$
Идея в том, чтобы поделить всё уравнение на $\sin x$ или $\cos x$ (preferable), чтобы получить полиномиальное уравнение с тангенсом.

Функция

Однородная функция обладает следующим свойством:

$$y=f(x)f(\lambda x)={\lambda }^m\cdot f(x)\text{ — однородная ф-я степени }m.$$

Задачька №1.

$$\begin{array}{c}{\sin }^{6}x-5{\sin }^{4}x{\cos }^{2}x+5{\sin }^{2}x{\cos }^{4}x-{\cos }^{6}x=0|:{\cos }^{6}x\ne 0\text{ — не явл. решением}\\ {\tan }^{6}x-5{\tan }^{4}x+5{\tan }^{2}x-1=0\\ t\stackrel{\mathrm{def}}{=}{\tan }^{2}x\Rightarrow t^3-5t^2+5t-1=0\\ (t-1)(t^2+t+1)+5t(t-1)=0\\ (t-1)(t^2+t+1+5t)=0\\ (t-1)(t^2+6t+1)=0\end{array}$$ $$[\begin{array}{c}t=1,\\ t^2+6t+1=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}t=1,\\ t=-3+\sqrt{8},\\ t=-3-\sqrt{8},\end{array}\iff [\begin{array}{c}\tan =1,\\ t=-3+\sqrt{8},\\ t=-3-\sqrt{8},\end{array}$$ $$\begin{array}{c}\sin 5x=\sin 3x\\ \sin 5x-\sin 3x=0\end{array}$$

---

$$\sin \alpha -\sin \beta =\dots$$ $$\begin{array}{c}\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\\ \sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y\\ \cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\\ \cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\\ \sin (x+y)-\sin (x-y)=\cos x\sin y+\cos x\sin y=2\cos x\sin y\end{array}$$ $$\text{Пусть }\alpha =x+y,\beta =x-y\Rightarrow x=\frac{\alpha +\beta }{2},y=\frac{\alpha -\beta }{2}\Rightarrow$$ $$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$$

---

$$\sin 5x-\sin 3x=2\cos \left(\frac{5x+3x}{2}\right)\sin \left(\frac{5x-3x}{2}\right)=0$$ $$2\cos 4x\sin x=0$$ $$[\begin{array}{c}\cos 4x=0\\ \sin x=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}4x=2\pi k\\ x=\frac{\pi }{2}+\pi k\end{array}\text{ , }k\in \mathbb{Z}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}k\\ x=\frac{\pi }{2}+\pi k\end{array}\text{ , }k\in \mathbb{Z}\text{ — ответ.}$$

Задачька №2.

$${\sin }^{4}x-5{\sin }^{3}x\cos x-6{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+5\sin x{\cos }^{3}x-{\cos }^{4}x=0|{\cos }^{4}x\ne 0$$ $${\tan }^{4}x-5{\tan }^{3}x-6{\tan }^{2}x+5\tan x-1=0$$ $$\text{Пусть }t\stackrel{\mathrm{def}}{=}\tan x\Rightarrow$$ $$\begin{array}{c}{t}^4-5t^3-6t^2+5t-1=0|t^2\ne 0\text{ — не является решением}\\ t^2-5t-6+\frac{5}{t}-\frac{1}{t^2}=0\\ \text{Пусть }u=\frac{1}{t}+t\Rightarrow \end{array}$$